Pembahasan Soal OSN Informatika Tingkat Provinsi Tahun 2017 Untuk Jenjang SMA.

1. Berapakah digit kedua dari belakang dari nilai 111^112^113?

Jawaban dari Kadek Surya Mahardika:

111^112^113

kita hitung dlu : 112^113

2^n
2^1 = 2
2^2 = 4
2^3 = 8

2^4 = 16 (sampe disini aja)
2^5 = 32

113%4 = 1 (jadi digit terakhirnya adalah 2)

111^2
11^2 = 121(jadi digit kedua dari terakhir adalah 2)

2. Pak Dengklek sangat suka mengutak-atik bilangan dan memberikan nama untuk sifat unik dari sebuah bilangan. Salah satu sifat unik bilangan yang dlsukal oleh Pak Dengklek adalah Bilangan Menanjak. Sebuah bilangan X disebut Bilangan Menanjak apabila digit-digit dari X menaik dari kiri ke kanan. Conteh Bilangan Menanjak adalah 122349. Tiba-tiba Pak Dengklek penasaran, ada berapa Bilangan Menanjak yang nilainya yang kurang dari (10^10)?

Jawaban dari Mamat Rahmat : 

Kita akan membuat bilangan menanjak 10 digit dengan leading zero (0 boleh di depan). Perhatikan bahwa setiap kemungkinan bilangan ini bisa dipetakan menjadi 1 bilangan menanjak tanpa leading zero yang lebih kecil dari 10^10. Yaitu yang diinginkan di soal.

Misal :

0000000000   ->   0

0000000006   ->   6

0000012244   ->   12244

1234566789   ->   1234566789

Caranya adalah dengan menggunakan beberapa (bisa nol, satu atau lebih dari satu) dari masing-masing digit {0,1,...,9}. Kemudian dari satu pemilihan, angka-angka tersebut lalu diletakkan dalam posisi berurutan dan akan didapatkan 1 bilangan yang kita inginkan

Misal :

9 buah digit '0', 1 buah digit '6'   ->   0000000006   ->   6

5 buah digit '0', 1 buah digit '1', 2 buah digit '2', 2 buah digit '4'   ->   0000012244   ->   12244

Banyaknya solusi persoalan ini sama dengan banyaknya solusi persamaan

 dengan 

yaitu C(10+10-1, 10-1) = C(19,9) = 92378

3. Bilangan unik lainnya yang disukai Pak Dengklek adalah Bilangan Kompeten. Sebuah bilangan X disebut Bilangan Kompeten apabila digit-digit dart X menurun atau menaik dari kiri ke kanan. Contoh Bilangan Kompeten yang menaik adalah 12234 dan contoh Bilangan Kompeten yang menurun adalah 9844200. Tiba-tiba Pak Dengklek penasaran, ada berapa Bilangan Kompeten yang nilainya kurang dari (10^10)?

Jawaban dari Michael Cahyadi Tjondro Kusumo :

 Soal ini kita hitung saja sama seperti soal sebelumnya, yaitu dengan menggunakan Kombinasi dengan Repetisi lalu mengurutkan angkanya sendiri.

Tetapi perlu diketahui bahwa untuk menghitung bilangan dibawah 1010 kita memerlukan 0 untuk diletakkan di depan, sedangkan cara yang kita gunakan sebelumnya akan memposisikan 0 untuk selalu berada di paling kanan.

Jadi untuk menghitung ini, saya akan tambahkan 1 angka lagi di luar 0-9 yaitu "0 yang dianggap lebih besar dari 9". Dengan begitu kita hanya perlu menambahkan 1 digit lagi dalam perhitungan. Jadi rumus kombinatoriknya adalah:

Terlihat mudah, tapi sebenarnya ini masih overcounting. Kenapa? Mari kita lihat lagi.

Saya akan memisalkan "0 yang dianggap lebih besar dari 9" dengan "A". Jika melakukan perhitungan ini, kita akan menemukan bilangan yang hanya memiliki digit "A" dan "0" sebanyak 9 kali. Dan kita juga akan menemukan satu bilangan yang hanya terdiri dari digit "A" saja.

Jadi hasil perhitungan tadi kita kurangi dengan 10 menjadi 184746.

Lalu jangan lupa kita jumlahkan dengan hasil perhitungan kita dari nomor selanjutnya yaitu 92378. Tapi jangan lupa bahwa pada kedua perhitungan terdapat sejumlah bilangan yang sama, yaitu bilangan yang hanya terdiri dari 1 macam digit dan atau 0. Karena banyaknya macam digit ada 9 selain 0 dan bilangan bernilai 0 hanya 1 kemungkinan pembentuknya, jawaban kita menjadi:

184746 + 92378 - 9*10 - 1 = 277033

Nah jika sobat ingin mendapatkan jawaban lainnya bisa mengunjungi https://www.kujawab.com/OSKKOM17

Terimakasih atas kunjungannya, semoga bermanfaat dan jika ada kesalahan dalam penyampain atau sebagainya, admin mohon maaf dan jika sobat sekalian ingin memperbaikinya bisa dengan cara meninggalkan komentar dibawah ini atau bisa dengan emai : mustakimhusaini69@gmail.com